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Ley de composición interna.

Vaya a la sección "Resolución del problema inicial" y compare su respuesta con la que allí figura. De no haber resuelto el problema inicial, analice los resultados mostrados. Observará en la tabla que con las siete fichas de dominó consideradas es posible obtener todos los resultados de las sustituciones. Es decir, que dos fichas cualesquiera del conjunto dado se sustituyen, de acuerdo a la regla, por otra ficha del mismo conjunto.

Algo similar ocurre si se considera, por ejemplo, el conjunto de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } y empleamos como regla de sustitución la suma habitual que todos conocemos. Sabemos que la suma de dos números naturales es otro número natural.

Como al operar con elementos de un conjunto el resultado es un elemento del mismo conjunto, la operación o ley de composición se llama interna en el conjunto considerado. Piense un ejemplo de otra operación interna distinta a la suma en el conjunto N.

Daremos la definición de ley interna, es posible que necesite recordar algunos conceptos como por ejemplo producto cartesiano o función, para lo cual le sugerimos que consulte algún libro de la bibliografía.

Definición: Dado un conjunto A distinto del vacío, se llama ley de composición interna en A, a toda función de A x A en A.

En símbolos: f es ley interna en A si y sólo si f : A x A  A es una función

Esta definición significa que a cada par (a , b) de elementos de A, le corresponde un único elemento que se denota a * b, también perteneciente al conjunto A y que denominamos el compuesto de a con b.

Para expresar f (a , b) = c, es habitual escribir a * b = c, donde en todos los casos a * b es la imagen del par (a , b) mediante la función f de A x A en A.

  Bibliografía sugerida:

Fraquelli A., Font E., Lazzari L., Loiácono T., Mouliá P., Thompson S. y Wartenberg R. : Algebra con aplicaciones a las ciencias económicas, Capítulo I, ítems 1 y 2, Ediciones Macchi, Buenos Aires, 1999; Rojo A.: Algebra I, Capítulo 5, ítem 5.2, Editorial El Ateneo, Buenos Aires, 1995; de Burgos J.: Algebra lineal, apéndices 3 y 7, Editorial Mc Graw Hill, Madrid, 1993.

Propiedades usuales y elementos particulares de una ley de composición interna

Propiedad conmutativa

Considerando el conjunto de fichas de dominó del problema inicial y la regla de sustitución correspondiente, realizaremos la siguiente sustitución de dos formas diferentes y compararemos los resultados obtenidos:

Aplicando la regla de sustitución, una forma de realizarla es:

Otra manera de realizar la sustitución es cambiando el orden de las fichas, del siguiente modo:

Comparando los resultados obtenidos podemos observar que son iguales, en ambos casos es la ficha:

Si Usted analiza atentamente lo realizado habrá advertido que, en todos los casos, cambiando el orden de las fichas el resultado no varía, sin duda se trata de la ya conocida propiedad conmutativa, que también la verifica la suma de números reales y en cambio la división no la cumple. Piense un ejemplo de una operación interna conmutativa distinta a la suma y una no conmutativa distinta a la división, en el conjunto  .

Le proponemos ahora que lea la definición de ley interna conmutativa en alguno de los libros que figuran en la bibliografía sugerida.

 

Bibliografía sugerida:

Fraquelli, A., Font, E., Lazzari, L., Loiácono, T., Mouliá, P., Thompson, S. y Wartenberg, R. : Algebra con aplicaciones a las ciencias económicas, Capítulo I, ítem 1.1.1, Ediciones Macchi, Buenos Aires, 1999; Rojo, A.: Algebra I, Capítulo 5, ítem 5.3.2, Editorial El Ateneo, Buenos Aires, 1995; de Burgos, J.: Algebra lineal, apéndice 7, Editorial Mc Graw Hill, Madrid, 1993.

          Propiedad asociativa

Volvamos al conjunto de fichas de dominó utilizado al inicio de esta unidad y la regla de sustitución correspondiente, realizaremos las siguientes sustituciones de dos formas diferentes y compararemos los resultados obtenidos:

De acuerdo a la regla de sustitución ya vista, una forma es sustituir las dos primeras fichas y luego sustituir el resultado de estas dos con la tercera ficha:

Otra forma de realizar lo pedido, es sustituir la segunda y la tercera fichas, y luego la primera con el resultado de lo anterior, del siguiente modo:

Comparando los resultados obtenidos podemos observar que son iguales, en ambos casos es la ficha:

Se podría comprobar que esta propiedad se verifica para tres fichas cualesquiera del conjunto considerado.

Si Usted analiza atentamente lo realizado advertirá que se trata de la propiedad asociativa, que también la cumple la suma de números reales y en cambio la división no la verifica.

Dados tres números reales a, b y c cualesquiera, por ser la suma asociativa en  , podemos escribir: (a + b) + c = a + (b + c) o también sin utilizar paréntesis a + b + c y obtendremos siempre el mismo resultado.

Piense un ejemplo de una operación interna asociativa distinta a la suma y una no asociativa distinta a la división, en el conjunto  .

Le proponemos ahora que lea la definición de ley interna asociativa en alguno de los libros que figuran en la bibliografía sugerida.

Bibliografía sugerida:

Fraquelli, A., Font, E., Lazzari, L., Loiácono, T., Mouliá, P., Thompson, S. y Wartenberg, R. : Algebra con aplicaciones a las ciencias económicas, Capítulo I, ítem 1.1.2, Ediciones Macchi, Buenos Aires, 1999; Rojo, A.: Algebra I, Capítulo 5, ítem 5.3.1, Editorial El Ateneo, Buenos Aires, 1995; de Burgos, J.: Algebra lineal, apéndice 7, Editorial Mc Graw Hill, Madrid, 1993.

Elemento neutro

Nos interesa analizar ahora con que ficha se debe combinar otra, para obtener, aplicando la regla, la ficha original.

Por ejemplo:

¿ Descubrió la ficha en cuestión ? Habrá notado que en todos los casos planteados, y en todos los posibles, es la ficha "doble cero", este elemento del conjunto de fichas recibe el nombre de elemento neutro:

Podemos concluir que al aplicar la regla a cualquier ficha del conjunto y a la ficha "doble cero", en cualquier orden, se obtiene la ficha original.

El cero es el elemento neutro de la suma de números reales, es decir que si a cualquier número real le sumamos cero no lo altera y si a cero le sumamos cualquier número, obtenemos dicho número. Si una ley interna posee elemento neutro, este es único.

Piense, en el conjunto  , un ejemplo de una operación interna que tenga neutro (distinta a la suma) y una que no tenga.

Es el momento de ir a la bibliografía y leer la definición y la propiedad de unicidad (con la correspondiente demostración) del elemento neutro.

Bibliografía sugerida:

Fraquelli, A., Font, E., Lazzari, L., Loiácono, T., Mouliá, P., Thompson, S. y Wartenberg, R. : Algebra con aplicaciones a las ciencias económicas, Capítulo I, ítem 1.1.4, Ediciones Macchi, Buenos Aires, 1999; Rojo, A.: Algebra I, Capítulo 5, ítem 5.3.3 y 5.3.5, Editorial El Ateneo, Buenos Aires, 1995; de Burgos, J.: Algebra lineal, apéndice 7, Editorial Mc Graw Hill, Madrid, 1993.

Elemento simétrico o inverso

Puesto que en nuestro conjunto de fichas de dominó existe elemento neutro, que es la ficha "doble cero", podemos preguntarnos:

La respuesta es la ficha:

Que verifica lo siguiente:

 

El neutro es un elemento del conjunto relativo a todos. El inverso o simétrico, si existe, es relativo a cada elemento, es decir que en un conjunto algunos elementos pueden tener inverso y otros no. Los elementos de un conjunto que admiten inverso, respecto de una ley interna, se llaman inversibles.

Busquemos el inverso, para la regla de sustitución, de los demás elementos del conjunto de fichas:

Podemos concluir que todos los elementos del conjunto de fichas son inversibles respecto de la regla de sustitución ya definida. Es decir que en el conjunto de fichas de dominó se ha definido una ley interna asociativa, conmutativa, con elemento neutro y todos los elementos son inversibles para la regla de sustitución.

Sabemos que todo número real tiene inverso para la suma, llamado inverso aditivo u opuesto, o sea para cada real x, existe - x tal que: x + (- x) = (- x) + x = 0. Es decir que en el conjunto  , la adición es una ley interna asociativa, conmutativa, con elemento neutro cero (0) y con inverso aditivo para cada real. Analice esto mismo en el conjunto Z, de los números enteros.

Antes de seguir, lea en la bibliografía sugerida la definición de elemento simétrico o inverso y la propiedad de unicidad (no olvide la demostración).

Bibliografía sugerida:

Fraquelli, A., Font, E., Lazzari, L., Loiácono, T., Mouliá, P., Thompson, S. y Wartenberg, R. : Algebra con aplicaciones a las ciencias económicas, Capítulo I, ítem 1.1.5, Ediciones Macchi, Buenos Aires, 1999; Rojo, A.: Algebra I, Capítulo 5, ítem 5.3.4 y 5.3.6, Editorial El Ateneo, Buenos Aires, 1995; de Burgos, J.: Algebra lineal, apéndice 7, Editorial Mc Graw Hill, Madrid, 1993.

 

Elemento regular y propiedad cancelativa

Resolvamos el siguiente problema con las fichas de dominó: Hallar el valor de las fichas X y Z de modo que se verifique la igualdad:

La respuesta es rápida: la única condición que deben cumplir X y Z es ser iguales, es decir X = Z. Se dice en este caso que para la regla de sustitución la ficha

es un elemento regular o simplificable a izquierda. También lo es a derecha porque verifica:

Recordemos que todos los números enteros son regulares para la adición y que todos los números reales, excepto el cero, son regulares para la multiplicación.

Tal vez Usted se preguntará: ¿Por qué el cero no es regular para la multiplicación ? Porque, por ejemplo, 8 . 0 = 14 . 0 y sin embargo 8 ¹ 14 .

La regularidad depende de cada elemento y de la ley de composición interna que se considere. Si todos los elementos de un conjunto son regulares respecto de una ley de composición interna, dicha ley es cancelativa en el conjunto considerado.

Suponemos que ya está en condiciones de leer en la bibliografía recomendada las definiciones de elemento regular y propiedad cancelativa, no olvide analizar los ejemplos que se presenten, le ayudarán a comprender mejor los conceptos.

Bibliografía sugerida:

Fraquelli, A., Font, E., Lazzari, L., Loiácono, T., Mouliá, P., Thompson, S. y Wartenberg, R. : Algebra con aplicaciones a las ciencias económicas, Capítulo I, ítem 1.1.6, Ediciones Macchi, Buenos Aires, 1999; Rojo, A.: Algebra I, Capítulo 5, ítem 5.3.7, Editorial El Ateneo, Buenos Aires, 1995; de Burgos, J.: Algebra lineal, apéndice 7, Editorial Mc Graw Hill, Madrid, 1993.

 

Propiedad distributiva de una ley de composición interna respecto de otra

Habrá escuchado hablar mucho en las clases de matemática que existen operaciones distributivas y no distributivas con respecto a otra. Recordemos alguna de ellas:

En el conjunto  la multiplicación es distributiva con respecto a la adición, lo que significa que dados tres números reales a, b y c, se verifica:

 

a . (b + c ) = a . b + a . c y también (a + b ) . c = a . c + b . c

 

Observe que las operaciones se pueden realizar de dos maneras diferentes.

En cambio la potenciación no es distributiva con respecto a la adición, lo que significa que existe un sólo modo de resolver (2 + 3 )2, que es sumando 2 y 3 y luego elevando el resultado al cuadrado o sea (2 + 3)2 =52, es decir (2 + 3 )2 = 25.

Recordemos que: (a + b )2 = a2 + 2 . a . b + b2

Por favor, lea en la bibliografía recomendada la definición, los comentarios y los ejemplos referidos a esta importante propiedad, para que cuando deba aplicarla lo haga correctamente.

Bibliografía sugerida:

Fraquelli, A., Font, E., Lazzari, L., Loiácono, T., Mouliá, P., Thompson, S. y Wartenberg, R. : Algebra con aplicaciones a las ciencias económicas, Capítulo I, ítem 1.1.3, Ediciones Macchi, Buenos Aires, 1999; Rojo, A.: Algebra I, Capítulo 5, ítem 5.3.8, Editorial El Ateneo, Buenos Aires, 1995.